Học kỳ 1: Xây dựng nền tảng tư duy Toán 10

\large\textbf{I. MỆNH ĐỀ}

\textbf{1. Lý thuyết giáo khoa}

\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
    \draw (0,0) circle (1);
    \draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0);
    \draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5);
\end{tikzpicture}


\textbf{a) Mệnh đề}

\begin{dn}
\textbf{Mệnh đề} là một khẳng định đúng hoặc sai.
\\ • Một khẳng định đúng gọi là \textbf{mệnh đề đúng}.
\\ • Một khẳng định sai gọi là \textbf{mệnh đề sai}.
\\ • Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
\end{dn}

\begin{note}
Người ta thường sử dụng các chữ cái in hoa $P, Q, R, \dots$ để kí hiệu mệnh đề.
\end{note}

\begin{vd}
Trong các câu sau đây, câu nào là mệnh đề?
\begin{listEX}[2]
\item $3$ là số lẻ;
\item $1+2>3$;
\item $\pi$ là số vô tỉ phải không?
\item $0{,}0001$ là số rất bé;
\item Đến năm $2050$, con người sẽ đặt chân lên Sao Hỏa.
\end{listEX}
\end{vd}

\loigiai{• a) "3 là số lẻ" là mệnh đề (là mệnh đề đúng).\\• b) "1+2>3" là mệnh đề (là mệnh đề sai).\\• c) "$\pi$ là một số vô tỉ phải không?" là câu hỏi, không phải mệnh đề.\\• d) Câu "0,0001 là số rất bé" không có tính hoặc đúng hoặc sai (do không đưa ra tiêu chí thế nào là số rất bé). Do đó, nó không phải là mệnh đề.\\• e) "Đến năm 2050, con người sẽ đặt chân lên Sao Hỏa" là một khẳng định chưa thể chắc chắn là đúng hay sai. Tuy nhiên, nó chắc chắn chỉ có thể hoặc đúng hoặc sai. Do đó, nó là một mệnh đề.}

\begin{note}
Những mệnh đề liên quan đến toán học còn được gọi là \textbf{mệnh đề toán học}.
\end{note}

\textbf{b) Mệnh đề chứa biến}

\begin{dn}
Những khẳng định mà tính đúng, sai của chúng phụ thuộc vào giá trị của biến gọi là \textbf{mệnh đề chứa biến}.
\end{dn}

\begin{vd}
Cho các mệnh đề chứa biến:
\\ • $P(x)\colon$ "2x=1";
\\ • $R(x,y)\colon$ "2x+y=3" (mệnh đề chứa hai biến $x$ và $y$);
\\ • $T(n)\colon$ "2n+1 là số chẵn" ($n$ là số tự nhiên).
\end{vd}

\loigiai{• a) Với x = 1/2 thì P(1/2): "2.(1/2)=1" là mệnh đề đúng. Với x=1 thì P(1): "2.1=1" là mệnh đề sai.\\• b) Với x=1, y=1 thì R(1,1): "2.1+1=3" là mệnh đề đúng. Với x=1, y=2 thì R(1,2): "2.1+2=3" là mệnh đề sai.\\• c) Lấy số tự nhiên n bất kì ta đều được 2n+1 là một số lẻ, nghĩa là T(n): "2n+1 là số chẵn" là mệnh đề sai. T(n) là mệnh đề sai với số tự nhiên n bất kì.}

\textbf{c) Mệnh đề phủ định}

\begin{dn}
Mỗi mệnh đề $P$ có mệnh đề phủ định, kí hiệu là $\overline{P}$. Mệnh đề $P$ và mệnh đề phủ định $\overline{P}$ có tính đúng sai trái ngược nhau.
\end{dn}

\loigiai{Ví dụ: Phủ định của "Tháng 12 dương lịch có 31 ngày" là "Tháng 12 dương lịch không có 31 ngày". Phủ định của "$9^{10} \ge 10^9$" là "$9^{10} < 10^9$".}

\textbf{d) Mệnh đề kéo theo}

\begin{dn}
Mệnh đề "Nếu $P$ thì $Q$" được gọi là mệnh đề kéo theo. Kí hiệu là $P \Rightarrow Q$. Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.
\end{dn}

\begin{note}
Trong định lí toán học dạng $P\Rightarrow Q$, ta nói $P$ là giả thiết (điều kiện đủ), $Q$ là kết luận (điều kiện cần).
\end{note}

\textbf{e) Mệnh đề đảo. Hai mệnh đề tương đương}

\begin{dn}
Mệnh đề $Q\Rightarrow P$ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề $P\Rightarrow Q$. Nếu cả hai mệnh đề thuận và đảo cùng đúng thì ta nói $P$ và $Q$ tương đương, kí hiệu $P \Leftrightarrow Q$ ("điều kiện cần và đủ").
\end{dn}

\textbf{f) Mệnh đề chứa kí hiệu $\forall$ và $\exists$}

\begin{dn}
• Mệnh đề "$\forall x\in M, P(x)$" đúng nếu với mọi $x_0\in M, P\left(x_0\right)$ đúng.
\\ • Mệnh đề "$\exists x\in M, P(x)$" đúng nếu có ít nhất một giá trị $x_0\in M$ sao cho $P\left(x_0\right)$ đúng.
\end{dn}

\loigiai{• Phủ định của mệnh đề chứa kí hiệu "với mọi" là "tồn tại" và ngược lại.\\• Ví dụ: Phủ định của "$\forall x\in\mathbb{R}, x^2+2x+2>0$" là "$\exists x\in\mathbb{R}, x^2+2x+2\le 0$".}
                                

                                    \textbf{Khái niệm tập hợp:} Là sự tập hợp của các đối tượng có cùng thuộc tính. Tập con: $A \subset B \Leftrightarrow (\forall x \in A \Rightarrow x \in B)$.
                                

                                    \textbf{Các phép toán cốt lõi:}
                                    \\ • Phép giao: $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ và } x \in B\}$.
                                    \\ • Phép hợp: $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ hoặc } x \in B\}$.
                                    \\ • Phép hiệu: $A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ và } x \notin B\}$. Phần bù $C_B A$ khi $A \subset B$.
                                

                                    \textbf{Định nghĩa:} Dạng tổng quát $ax + by < c$ (hoặc $\le, >, \ge$). Miền nghiệm biểu diễn trên hệ trục tọa độ là một nửa mặt phẳng được phân chia bởi đường thẳng $ax + by = c$.
                                

                                    \textbf{Miền nghiệm của hệ:} Là giao phần miền nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ. Ứng dụng tối ưu hóa tuyến tính trong thực tế kinh tế.
                                

                                    \textbf{Kiến thức core:} Tập xác định $D$, tập giá trị, hàm đồng biến, hàm nghịch biến trên khoảng xác định.
                                

                                    \textbf{Đồ thị Parabola:} Hàm số $y = ax^2 + bx + c \ (a \neq 0)$ có đỉnh $I\left(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a}\right)$, trục đối xứng $x = -\frac{b}{2a}$.
                                

                                    \textbf{Lượng giác góc tù:} Trên nửa đường tròn đơn vị, $\sin \alpha = y_0$, $\cos \alpha = x_0$. Tính chất góc bù nhau: $\sin(180^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha$, $\cos(180^{\circ} - \alpha) = -\cos \alpha$.
                                

                                    \textbf{Hệ thức lượng cơ bản:}
                                    \\ • Định lí côsin: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A$.
                                    \\ • Định lí sin: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
                                

                                    \textbf{Các công thức diện tích tam giác $S$:}
                                    \\ • $S = \frac{1}{2}ah_a = \frac{1}{2}bc \sin A$.
                                    \\ • $S = \frac{abc}{4R} = pr = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (Hê-rông).
                                

                                    \textbf{Định nghĩa:} Vectơ là đoạn thẳng có hướng. Độ dài vectơ, hai vectơ cùng phương, cùng hướng, bằng nhau. Vectơ không $\vec{0}$.
                                

                                    \textbf{Quy tắc hình học:} 
                                    \\ • Quy tắc ba điểm: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
                                    \\ • Quy tắc hình bình hành: $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.
                                    \\ • Quy tắc hiệu: $\vec{OB} - \vec{OA} = \vec{AB}$.
                                

                                    \textbf{Tính chất hệ thức:} Hệ thức trung điểm: $\vec{MA} + \vec{MB} = 2\vec{MI}$. Hệ thức trọng tâm tam giác: $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$. Điều kiện hai vectơ cùng phương.
                                

                                    \textbf{Định nghĩa:} $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$. Ứng dụng tính độ dài đoạn thẳng, góc giữa hai đường thẳng và tính công cơ học.